Sections de solides : propriétés et calculs
Une section plane est l'intersection d'un solide et d'un plan. Pour un pavé droit, la section est un rectangle. Pour un cylindre perpendiculairement à l'axe, c'est un disque. Pour une pyramide ou un cône, une coupe parallèle à la base produit une réduction de la figure initiale. Le rapport de cette réduction est . Les longueurs sont multipliées par , les aires par et les volumes par . Enfin, toute section d'une sphère par un plan est un cercle.
Le résumé
Comprendre le cours
Une section plane est l'intersection d'un solide et d'un plan. Pour un pavé droit, la section est un rectangle. Pour un cylindre perpendiculairement à l'axe, c'est un disque. Pour une pyramide ou un cône, une coupe parallèle à la base produit une réduction de la figure initiale. Le rapport de cette réduction est . Les longueurs sont multipliées par , les aires par et les volumes par . Enfin, toute section d'une sphère par un plan est un cercle.
Avant de commencer
Prérequis
Connaissance des propriétés des solides usuels (pavé, pyramide, cylindre, sphère)
Notion de parallélisme et de perpendicularité
Théorème de Pythagore pour calculer les rayons dans une sphère :
Le plan
Structure du cours
- 1
Section d'un pavé droit
Par un plan parallèle à une facePar un plan parallèle à une arêteLa section est un rectangle identique à la face opposée
La section est un rectangle dont l'une des dimensions est égale à la longueur de l'arête
- 2
Section d'un cylindre de révolution
Section perpendiculaire à l'axeSection parallèle à l'axeSection perpendiculaire : un disque de même rayon
Section parallèle : un rectangle
- 3
Section d'une pyramide ou d'un cône
Réduction par un plan parallèle à la baseLa section est une figure de même nature que la base
Les dimensions sont multipliées par un coefficient de réduction
À retenir
Notions clés
Section plane
À mémoriserFigure obtenue à l'intersection d'un solide et d'un plan.
Une tranche de fromage coupée par un couteau.
Coefficient de réduction $$k$$
À mémoriserRapport entre les longueurs de la figure sectionnée et celles de la base initiale ().
Si la section est à mi-hauteur, .
Section d'une sphère
À mémoriserIntersection d'une sphère de centre et de rayon avec un plan : c'est toujours un cercle.
La coupe d'une orange est un cercle.
En pratique
Exemple résolu
On coupe une pyramide de hauteur cm par un plan parallèle à sa base carrée de côté cm. La section se trouve à une distance cm du sommet.
- 1
Étape 1 : Calculer le coefficient de réduction k = rac{h}{H} = rac{2}{10} = 0,2.
- 2
Étape 2 : Multiplier le côté de la base par : cm.
- 3
Résultat : La section est un carré de côté cm.
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Réduction de solide
Pensez à un projecteur : plus le plan est proche du sommet, plus l'ombre (la section) est petite.
Section de sphère
Comme une tomate : peu importe l'angle, si vous coupez, vous obtiendrez toujours un cercle (une tranche).
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Croire que la section d'un cône est toujours un triangle.
La section est un triangle uniquement si le plan passe par le sommet. Si le plan est parallèle à la base, la section est un cercle.
Oublier que dans une réduction, l'aire est multipliée par et non par .
Les longueurs sont multipliées par , les aires par et les volumes par .
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