Math1ère

Étude du signe d'un trinôme du second degré

Le signe d'un trinôme $ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta = b^2-4ac$ . Si $\Delta > 0$ , le trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$ . Le signe est celui de $a$ à l'extérieur des racines et opposé à $a$ entre les racines. Si $\Delta = 0$ , il y a une racine double et le trinôme garde le signe de $a$ (sauf en $x_0$ ). Si $\Delta < 0$ , le trinôme garde le signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$ .

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 19 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Maîtriser le développement et la factorisation d'expressions algébriques
Savoir résoudre des équations du premier degré
Comprendre la représentation graphique d'une fonction parabole

Le plan

Structure du cours

1
La forme canonique et le discriminant
Définition d'un trinômeLe rôle du discriminant $$\Delta$$
- Un trinôme s'écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$
- Le discriminant vaut $\Delta = b^2 - 4ac$
2
Étude du signe selon le discriminant
Cas $$\Delta > 0$$Cas $$\Delta = 0$$Cas $$\Delta < 0$$
- Si $\Delta > 0$ , deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$
- Signe du trinôme : signe de $a$ à l'extérieur des racines

À retenir

Notions clés

Discriminant

À mémoriser

Nombre défini par $\Delta = b^2 - 4ac$ permettant de déterminer le nombre de racines.

Exemple

Pour $x^2 - 3x + 2$ , $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1$ .

Racines

À mémoriser

Valeurs de $x$ pour lesquelles $ax^2 + bx + c = 0$ .

Exemple

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Signe du trinôme

À mémoriser

Le trinôme est du signe de $a$ sauf entre les racines (s'il y en a).

Exemple

Si $a > 0$ , le trinôme est positif à l'extérieur des racines.

En pratique

Exemple résolu

Étudier le signe de $f(x) = -x^2 + 5x - 6$

1
Calculer $\Delta = 5^2 - 4(-1)(-6) = 25 - 24 = 1$ . Comme $\Delta > 0$ , il y a deux racines.
2
Calculer les racines : $x_1 = \frac{-5 - 1}{-2} = 3$ et $x_2 = \frac{-5 + 1}{-2} = 2$ .
3
Le coefficient $a = -1$ est négatif. Le signe est donc négatif à l'extérieur des racines $]-\infty; 2[ \cup ]3; +\infty[$ et positif sur $]2; 3[$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Signe à l'intérieur/extérieur

Pensez à un tunnel : à l'extérieur (avant et après les racines), on suit la direction du coefficient $a$ , à l'intérieur (le tunnel), on fait l'inverse.

Calcul de $$\Delta$$

Dites-vous : 'B au carré moins quatre-AC' (B-au-carré-moins-quatre-AC).

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Croire que le signe est toujours positif si $\Delta > 0$ .

Le signe dépend uniquement du signe de $a$ . Si $a < 0$ , le trinôme est majoritairement négatif.

Oublier de changer le signe à l'intérieur des racines.

Le signe change toujours lors du passage par les racines réelles.

Se tester

Flashcards

Cliquez sur une carte pour révéler la réponse.

Continuer à réviser

1ère

Math

Introduction à la dérivation : concepts et applications

La dérivation permet d'étudier la variation d'une fonction et de déterminer sa pente en chaque point. Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coeffic...

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ , peu i...

Probabilités : cours sur la loi binomiale B(n, p)

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

3 notions5 cartes

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- Le discriminant vaut $\Delta = b^2 - 4ac$
2
Étude du signe selon le discriminant
Cas $$\Delta > 0$$Cas $$\Delta = 0$$Cas $$\Delta < 0$$
- Si $\Delta > 0$ , deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$
- Signe du trinôme : signe de $a$ à l'extérieur des racines

À retenir

Notions clés

Discriminant

À mémoriser

Nombre défini par $\Delta = b^2 - 4ac$ permettant de déterminer le nombre de racines.

Exemple

Pour $x^2 - 3x + 2$ , $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1$ .

Racines

À mémoriser

Valeurs de $x$ pour lesquelles $ax^2 + bx + c = 0$ .

Exemple

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Signe du trinôme

À mémoriser

Le trinôme est du signe de $a$ sauf entre les racines (s'il y en a).

Exemple

Si $a > 0$ , le trinôme est positif à l'extérieur des racines.

En pratique

Exemple résolu

Étudier le signe de $f(x) = -x^2 + 5x - 6$

1
Calculer $\Delta = 5^2 - 4(-1)(-6) = 25 - 24 = 1$ . Comme $\Delta > 0$ , il y a deux racines.
2
Calculer les racines : $x_1 = \frac{-5 - 1}{-2} = 3$ et $x_2 = \frac{-5 + 1}{-2} = 2$ .
3
Le coefficient $a = -1$ est négatif. Le signe est donc négatif à l'extérieur des racines $]-\infty; 2[ \cup ]3; +\infty[$ et positif sur $]2; 3[$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Signe à l'intérieur/extérieur

Pensez à un tunnel : à l'extérieur (avant et après les racines), on suit la direction du coefficient $a$ , à l'intérieur (le tunnel), on fait l'inverse.

Calcul de $$\Delta$$

Dites-vous : 'B au carré moins quatre-AC' (B-au-carré-moins-quatre-AC).

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Croire que le signe est toujours positif si $\Delta > 0$ .

Le signe dépend uniquement du signe de $a$ . Si $a < 0$ , le trinôme est majoritairement négatif.

Oublier de changer le signe à l'intérieur des racines.

Le signe change toujours lors du passage par les racines réelles.

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