Suites : limites et convergence
Une suite converge vers un réel si ses termes se rapprochent de quand devient très grand. Si elle ne converge pas, elle diverge, par exemple vers ou . Les théorèmes de comparaison et des gendarmes permettent de déterminer une limite en l'encadrant par des suites connues. Une suite croissante et majorée est toujours convergente. Enfin, deux suites sont adjacentes si l'une croît, l'autre décroît et que leur différence tend vers , ce qui assure leur convergence vers une limite commune.
Le résumé
Comprendre le cours
Une suite converge vers un réel si ses termes se rapprochent de quand devient très grand. Si elle ne converge pas, elle diverge, par exemple vers ou . Les théorèmes de comparaison et des gendarmes permettent de déterminer une limite en l'encadrant par des suites connues. Une suite croissante et majorée est toujours convergente. Enfin, deux suites sont adjacentes si l'une croît, l'autre décroît et que leur différence tend vers , ce qui assure leur convergence vers une limite commune.
Avant de commencer
Prérequis
Notion de limite de fonction
Manipulation des suites arithmétiques et géométriques
Raisonnement par récurrence
Le plan
Structure du cours
- 1
Limites de suites usuelles
Suites géométriquesCroissance comparéeComportement de selon la valeur de
Limites des fonctions usuelles appliquées aux suites
- 2
Théorèmes de convergence
Théorème des gendarmesThéorème de comparaisonThéorème de la limite monotoneEncadrement pour prouver une limite
Toute suite croissante et majorée converge
- 3
Suites adjacentes
DéfinitionPropriété fondamentaleL'une croissante, l'autre décroissante
La différence tend vers
Elles convergent vers la même limite
À retenir
Notions clés
Convergence d'une suite
À mémoriserUne suite converge vers un réel si ses termes deviennent arbitrairement proches de quand tend vers .
La suite tend vers .
Théorème des gendarmes
À mémoriserSi et que et convergent vers , alors converge vers .
Encadrer entre et .
Suites adjacentes
À mémoriserDeux suites et sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et si tend vers .
Les suites définies par les sommes partielles de et de son approximation.
En pratique
Exemple résolu
Étudier la limite de la suite définie par .
- 1
Étape 1 : On sait que .
- 2
Étape 2 : On ajoute et on divise par , ce qui donne .
- 3
Étape 3 : Les limites des deux bornes sont quand .
- 4
Résultat : Par le théorème des gendarmes, la suite converge vers .
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Théorème des gendarmes
Un suspect (la suite ) est encadré par deux policiers (les suites et ) qui l'emmènent forcément vers la même destination .
Suites adjacentes
Deux amis qui marchent l'un vers l'autre en se rapprochant toujours plus : l'espace entre eux finit par s'annuler.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Croire qu'une suite majorée est forcément convergente.
Une suite majorée peut osciller sans converger, comme . Il faut aussi qu'elle soit croissante.
Utiliser le théorème des gendarmes sans prouver la limite des bornes.
Il est impératif de justifier que les deux suites encadrantes convergent vers la même limite .
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