Analyse et étude des suites récurrentes u_{n+1}=f(u_n)
Une suite récurrente se définit par son terme initial et une fonction . Sa convergence repose souvent sur le théorème de la limite monotone : si la suite est croissante et majorée (ou décroissante et minorée), elle converge. La limite vérifie alors l'équation , appelée équation aux points fixes. Graphiquement, la suite se construit par itération entre la courbe de et la droite . Il est crucial de démontrer la convergence avant de chercher le point fixe.
Le résumé
Comprendre le cours
Une suite récurrente se définit par son terme initial et une fonction . Sa convergence repose souvent sur le théorème de la limite monotone : si la suite est croissante et majorée (ou décroissante et minorée), elle converge. La limite vérifie alors l'équation , appelée équation aux points fixes. Graphiquement, la suite se construit par itération entre la courbe de et la droite . Il est crucial de démontrer la convergence avant de chercher le point fixe.
Avant de commencer
Prérequis
Maîtrise des fonctions usuelles et de leurs variations
Notion de limite de suite
Raisonnement par récurrence
Le plan
Structure du cours
- 1
Définition et mode de génération
Relation de récurrenceReprésentation graphiqueUne suite est définie par un premier terme et une relation
Construction géométrique utilisant la droite d'équation
- 2
Monotonie et convergence
Étude du signe de $$u_{n+1} - u_n$$Théorème de la limite monotoneSi est croissante, la suite est monotone
Si la suite est bornée et monotone, elle converge vers un point fixe
- 3
Points fixes
DéfinitionRecherche de la limiteSi et est continue, alors
L'équation permet de trouver les limites possibles
À retenir
Notions clés
Point fixe
À mémoriserUn nombre tel que . Si la suite converge vers , alors est nécessairement une solution de cette équation.
Pour , on résout , soit .
Fonction d'itération
À mémoriserLa fonction telle que . Elle dicte le comportement de la suite.
Dans , la fonction est .
Théorème de convergence monotone
À mémoriserToute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
Une suite croissante majorée par possède une limite finie .
En pratique
Exemple résolu
Étude de la suite définie par et
- 1
Étape 1 : Montrer par récurrence que .
- 2
Étape 2 : Étudier le signe de pour montrer que la suite est croissante.
- 3
Étape 3 : Conclure que la suite converge vers la solution positive de , soit .
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Construction en escalier
Pensez à un ricochet : vous partez de l'axe des abscisses, vous touchez la courbe , puis vous rebondissez sur la droite pour revenir sur l'axe des abscisses.
Convergence vers le point fixe
Le point fixe est le 'trou noir' de la suite : si elle s'en approche, elle finit par y tomber irrémédiablement.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Affirmer que la limite est sans avoir prouvé la convergence.
Il faut impérativement prouver que la suite est convergente (monotone et bornée) avant de passer à la limite dans l'égalité .
Calculer directement en fonction de .
C'est rarement possible pour une suite définie par . On préfère l'étude du comportement asymptotique.
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