Résolution de systèmes d'équations : substitution et combinaison
Un système de deux équations est un couple de deux égalités liées par deux inconnues, et . Résoudre un système, c'est trouver le couple qui rend les deux égalités vraies simultanément. On utilise deux méthodes principales : la substitution, où l'on exprime une variable pour remplacer l'autre, et la combinaison, où l'on additionne ou soustrait les équations pour supprimer une variable. Il est crucial de vérifier systématiquement ses résultats en remplaçant les valeurs trouvées dans les deux équations initiales. Une attention particulière doit être portée aux signes lors des manipulations algébriques. Ces outils sont essentiels pour résoudre des problèmes concrets de recherche de nombres ou de quantités.
Le résumé
Comprendre le cours
Un système de deux équations est un couple de deux égalités liées par deux inconnues, et . Résoudre un système, c'est trouver le couple qui rend les deux égalités vraies simultanément. On utilise deux méthodes principales : la substitution, où l'on exprime une variable pour remplacer l'autre, et la combinaison, où l'on additionne ou soustrait les équations pour supprimer une variable. Il est crucial de vérifier systématiquement ses résultats en remplaçant les valeurs trouvées dans les deux équations initiales. Une attention particulière doit être portée aux signes lors des manipulations algébriques. Ces outils sont essentiels pour résoudre des problèmes concrets de recherche de nombres ou de quantités.
Avant de commencer
Prérequis
Savoir résoudre une équation du premier degré à une inconnue de type
Maîtriser les bases du calcul littéral (développement, réduction)
Savoir manipuler des égalités
Le plan
Structure du cours
- 1
Définition d'un système
Qu'est-ce qu'un système ?Solution d'un systèmeUn système est constitué de deux équations à deux inconnues et .
Une solution est un couple qui vérifie simultanément les deux égalités.
- 2
Méthodes de résolution
Méthode par substitutionMéthode par combinaison linéaireLa substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre.
La combinaison consiste à multiplier les équations pour éliminer une inconnue par addition ou soustraction.
À retenir
Notions clés
Système linéaire
À mémoriserEnsemble de deux équations du premier degré à deux inconnues sous la forme
Solution d'un système
À mémoriserUn couple de nombres qui rend vraies les deux équations du système en même temps.
Pour le système ci-dessus, le couple est solution car et .
Substitution
À mémoriserTechnique consistant à isoler une variable dans une équation pour la remplacer dans la seconde.
Si , on remplace dans la deuxième équation tout par .
En pratique
Exemple résolu
Un fermier a des poules et des lapins. Il y a 10 têtes et 32 pattes au total. Combien a-t-il de poules () et de lapins () ?
- 1
Étape 1 : Modéliser le système :
- 2
Étape 2 : Isoler dans la première équation : .
- 3
Étape 3 : Substituer dans la deuxième : , ce qui donne , soit , donc .
- 4
Résultat : (lapins), donc (poules). Vérification : têtes et pattes.
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Méthode par substitution
C'est comme un jeu de remplacement : si Jean est absent, on met Paul à sa place dans l'équipe pour garder le même niveau.
Méthode par combinaison
C'est comme une balance de cuisine : si on ajoute ou soustrait le même poids des deux côtés, l'équilibre reste maintenu.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier la solution dans les DEUX équations.
Une solution doit impérativement satisfaire les deux lignes. Si elle ne marche que dans l'une, le calcul est faux.
Erreur de signe lors de la soustraction des équations.
Utilisez des parenthèses : pour éviter les fautes de signes en chaîne.
Se tester
Flashcards
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