Exercices de Math : Calcul vectoriel

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(2; 3)$ et $B(5; 7)$. Calculez les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(-1; 2)$, $B(3; 5)$ et $C(1; -2)$. Soit le point $D$ tel que le vecteur $\vec{CD} = 2\vec{AB} - \vec{AC}$. Déterminer les coordonnées du point $D$ et démontrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.

Soit un triangle $ABC$. On définit les points $M$ et $N$ tels que : $\vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}$ et $\vec{BN} = \frac{1}{3} \vec{BC}$. Soit $P$ le point défini par $\vec{AP} = k \vec{AC}$, où $k$ est un réel. Déterminer la valeur de $k$ pour que les points $M$, $N$ et $P$ soient alignés.