Exercices de Math : Probabilités conditionnelles

Dans un lycée, $70\%$ des élèves pratiquent un sport. Parmi ceux qui pratiquent un sport, $60\%$ sont inscrits dans un club. Parmi ceux qui ne pratiquent pas de sport, $10\%$ sont inscrits dans un club (pour d'autres activités). On choisit un élève au hasard. Soit $S$ l'événement 'l'élève pratique un sport' et $C$ l'événement 'l'élève est inscrit dans un club'. Calculez la probabilité que l'élève soit inscrit dans un club sachant qu'il ne pratique pas de sport, et la probabilité qu'il pratique un sport ET soit inscrit dans un club.

Dans un lycée, $70\%$ des élèves pratiquent un sport. Parmi ceux qui pratiquent un sport, $60\%$ sont inscrits dans un club. Parmi ceux qui ne pratiquent pas de sport, $10\%$ sont inscrits dans un club (pour d'autres activités). On choisit un élève au hasard. Soit $S$ l'événement 'l'élève pratique un sport' et $C$ l'événement 'l'élève est inscrit dans un club'. Calculez la probabilité que l'élève soit inscrit dans un club sachant qu'il ne pratique pas de sport, et la probabilité qu'il pratique un sport ET soit inscrit dans un club.

Dans un club de sport, $60\%$ des adhérents pratiquent le tennis. Parmi ceux qui pratiquent le tennis, $20\%$ suivent également un cours de fitness. Parmi ceux qui ne pratiquent pas le tennis, $50\%$ suivent un cours de fitness. On choisit au hasard un adhérent du club. On note $T$ l'événement « l'adhérent pratique le tennis » et $F$ l'événement « l'adhérent pratique le fitness ». Calculez la probabilité que l'adhérent pratique le fitness, notée $P(F)$, puis sachant qu'il pratique le fitness, la probabilité qu'il pratique le tennis, notée $P_F(T)$.

Dans un club de sport, $60\%$ des adhérents pratiquent le tennis. Parmi ceux qui pratiquent le tennis, $20\%$ suivent également un cours de fitness. Parmi ceux qui ne pratiquent pas le tennis, $50\%$ suivent un cours de fitness. On choisit au hasard un adhérent du club. On note $T$ l'événement « l'adhérent pratique le tennis » et $F$ l'événement « l'adhérent pratique le fitness ». Calculez la probabilité que l'adhérent pratique le fitness, notée $P(F)$, puis sachant qu'il pratique le fitness, la probabilité qu'il pratique le tennis, notée $P_F(T)$.

Une entreprise produit des composants électroniques dans deux usines $U_1$ et $U_2$. L'usine $U_1$ produit $70\%$ de la production totale et l'usine $U_2$ en produit $30\%$. Le taux de composants défectueux est de $1\%$ pour l'usine $U_1$ et de $4\%$ pour l'usine $U_2$. On choisit au hasard un composant dans la production totale. Soient $U_1$, $U_2$ les événements « le composant provient de l'usine i » et $D$ l'événement « le composant est défectueux ». 1) Calculer $P(D)$. 2) Sachant qu'un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne de l'usine $U_2$ ? 3) Si l'on souhaite que la probabilité globale de défectuosité $P(D)$ descende à $1,4\%$ en conservant les mêmes taux de défauts par usine, quelle doit être la nouvelle proportion $x$ de production de l'usine $U_1$ (avec $x \in [0, 1]$) ?

Une entreprise produit des composants électroniques dans deux usines $U_1$ et $U_2$. L'usine $U_1$ produit $70\%$ de la production totale et l'usine $U_2$ en produit $30\%$. Le taux de composants défectueux est de $1\%$ pour l'usine $U_1$ et de $4\%$ pour l'usine $U_2$. On choisit au hasard un composant dans la production totale. Soient $U_1$, $U_2$ les événements « le composant provient de l'usine i » et $D$ l'événement « le composant est défectueux ». 1) Calculer $P(D)$. 2) Sachant qu'un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne de l'usine $U_2$ ? 3) Si l'on souhaite que la probabilité globale de défectuosité $P(D)$ descende à $1,4\%$ en conservant les mêmes taux de défauts par usine, quelle doit être la nouvelle proportion $x$ de production de l'usine $U_1$ (avec $x \in [0, 1]$) ?