Exercices de Mathématiques : Dérivabilité et convexité

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. 1) Calculer la dérivée $f'(x)$. 2) Déterminer la dérivée seconde $f''(x)$. 3) En déduire sur quel intervalle de $\mathbb{R}$ la fonction $f$ est convexe.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$. 1) Calculer la dérivée seconde $f''(x)$. 2) Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de $f$ sur $\mathbb{R}$. 3) En déduire les coordonnées des points d'inflexion de la courbe représentative de $f$.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I = ]0; +\infty[$ par $f(x) = x^2 \ln(x) - x^2$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $I$.
2. Étudier la convexité de la fonction $f$. Montrer que la courbe représentative de $f$, notée $C_f$, admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.