Exercices de Mathématiques : Sommes de variables aléatoires

On considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$. La variable $X$ a pour espérance $E(X) = 5$ et pour variance $V(X) = 2$. La variable $Y$ a pour espérance $E(Y) = 3$ et pour variance $V(Y) = 4$. On définit la somme $S = X + Y$. Déterminer l'espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$.

Une entreprise fabrique des composants électroniques dont la durée de vie $X$ (en milliers d'heures) suit une loi uniforme sur l'intervalle $[1 ; 3]$. On considère un système composé de deux composants identiques fonctionnant indépendamment l'un de l'autre. Soit $S = X_1 + X_2$ la somme de leurs durées de vie. 1. Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$ de la durée de vie d'un composant. 2. En déduire l'espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ du système.

Une entreprise fabrique des composants électroniques dont la durée de vie $X$ (en milliers d'heures) suit une loi normale $N(10; 0,5^2)$. Pour améliorer la fiabilité, l'entreprise assemble ces composants par lots de $n=16$ composants en série. La durée de vie totale du système $S$ est définie par la somme des durées de vie des composants : $S = \sum_{i=1}^{16} X_i$, où les $X_i$ sont supposées indépendantes et identiquement distribuées.

1. Déterminer la loi de la variable aléatoire $S$.
2. Calculer la probabilité que la durée de vie totale du système $S$ soit inférieure à $150$ milliers d'heures, soit $P(S < 150)$.