Exercices de Mathématiques : Probabilités : loi binomiale

On lance un dé équilibré à $6$ faces, $5$ fois de suite de manière indépendante. On s'intéresse au succès : obtenir un $6$. Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où le $6$ apparaît. Déterminer les paramètres de la loi binomiale suivie par $X$ et calculer la probabilité d'obtenir exactement deux fois le chiffre $6$, notée $P(X=2)$.

Une entreprise produit des composants électroniques dont 3% sont défectueux. On prélève au hasard un échantillon de $n = 50$ composants. La taille de la production permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de composants défectueux dans l'échantillon. 1) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 2) Calculer la probabilité qu'il y ait exactement $2$ composants défectueux. 3) Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un composant défectueux dans l'échantillon. Donner les résultats arrondis à $10^{-4}$ près pour les calculs intermédiaires et à $10^{-3}$ pour le résultat final.

Une entreprise de haute technologie produit des composants électroniques. Le contrôle qualité a déterminé que la probabilité qu'un composant soit défectueux est de $p = 0,02$. On prélève au hasard un échantillon de $n$ composants, avec $n \geq 10$, où $n$ est un entier. Soit $X_n$ la variable aléatoire représentant le nombre de composants défectueux dans cet échantillon. On admet que $X_n$ suit la loi binomiale $B(n, 0,02)$. 1) Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu'il y ait au moins un composant défectueux dans l'échantillon soit supérieure ou égale à $0,5$. 2) Pour cette valeur de $n$, calculer l'espérance $E(X_n)$ et la variance $V(X_n)$.