Exercices de Math : Le produit scalaire

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ définis par leurs coordonnées : $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \ 5 \end{pmatrix}$. Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Soit un triangle $ABC$ tel que $AB = 4$, $AC = 6$ et la mesure de l'angle $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$. Le but est de calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. Ensuite, en déduire la longueur du côté $BC$.

Soit un triangle $ABC$ tel que $AB = 4$, $AC = 3$ et $BC = \sqrt{13}$. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(BC)$.

1. Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ en utilisant le théorème d'Al-Kashi.
2. Calculer la valeur du produit scalaire $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$.
3. En déduire la longueur $BH$.