Exercices de Mathématiques : Le raisonnement par récurrence

On considère la suite $u_n$ définie pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}^*$ par la somme des $n$ premiers entiers : $u_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n$. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a la relation : $u_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n - 1$. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^n$.

Soit $x$ un réel tel que $x > -1$ et $x \neq 0$. On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 2$, l'inégalité $(1+x)^n > 1 + nx$ est vérifiée.