Exercices de Mathématiques : Les nombres complexes

Soient les nombres complexes $z_1 = 3 + 2i$ et $z_2 = 1 - 4i$. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $Z$ défini par $Z = z_1 + 2z_2$.

On considère le polynôme $P(z) = z^2 - 4z + 13$ défini pour tout $z \in \mathbb{C}$. 1. Déterminer le discriminant $\Delta$ de ce polynôme. 2. En déduire les deux racines complexes conjuguées $z_1$ et $z_2$ de l'équation $P(z) = 0$.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 1$, $z_B = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_C = 2$. On définit la transformation $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = e^{i\frac{\pi}{3}} z + 1$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'application $f$.
2. Déterminer l'affixe du point $A' = f(A)$.
3. Montrer que le triangle $MA M'$ est équilatéral pour tout point $M$ d'affixe $z$.