Exercices de Mathématiques : Suites récurrentes

On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,5 u_n + 2$. Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence : u_{n+1} = rac{1}{2}u_n + 3.

1. Calculer les trois premiers termes de la suite : $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. On définit une suite auxiliaire $(v_n)$ par $v_n = u_n - 6$. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison $q$ et le premier terme $v_0$.
3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - u_n^2$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $0 < u_n \le \frac{1}{2}$.
2. Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
3. Justifier que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite $L$.