Math1ère

Géométrie analytique : calcul vectoriel et colinéarité

Le calcul vectoriel permet d'étudier la géométrie par les coordonnées. Un vecteur $\vec{u}$ se définit par ses coordonnées $(x; y)$ et ses propriétés géométriques. La relation de Chasles $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ est fondamentale pour simplifier les sommes. La colinéarité est l'outil principal pour prouver des parallélismes ou des alignements. On utilise le déterminant $det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx'$ pour tester cette colinéarité. Si $det = 0$ , les vecteurs sont colinéaires. Ces outils permettent de démontrer des propriétés géométriques dans le plan sans mesure physique.

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Notions de base en géométrie plane (droites, segments)
Calcul numérique élémentaire
Maîtrise des repères cartésiens $(O; \vec{i}, \vec{j})$

Le plan

Structure du cours

1
Vecteurs et repérage
Définition et égalitéCoordonnées
- Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme.
- Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x; y)$ .
2
Opérations sur les vecteurs
Addition et multiplication par un réelColinéarité
- Relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
- Condition de colinéarité : $\vec{u} = k\vec{v}$ ou déterminant nul.
3
Applications géométriques
AlignementParallélisme
- Points alignés si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
- Droites parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

À retenir

Notions clés

Vecteur

À mémoriser

Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur appelée norme.

Exemple

Le déplacement du point $A$ vers le point $B$ est noté $\vec{AB}$ .

Colinéarité

À mémoriser

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ .

Exemple

Si $\vec{u} = (2; 3)$ et $\vec{v} = (4; 6)$ , alors $\vec{v} = 2\vec{u}$ , ils sont colinéaires.

Déterminant

À mémoriser

Pour $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ , le déterminant est $det(\\\vec{u}, \\\vec{v}) = xy' - yx'$ .

Exemple

Si $det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$ , alors les vecteurs sont colinéaires.

En pratique

Exemple résolu

Montrer que les points $A(1; 2)$ , $B(3; 4)$ et $C(5; 6)$ sont alignés.

1
Calcul des coordonnées des vecteurs : $\vec{AB}(3-1; 4-2) = (2; 2)$ et $\vec{AC}(5-1; 6-2) = (4; 4)$ .
2
Calcul du déterminant : $det(\vec{AB}, \vec{AC}) = (2 \times 4) - (2 \times 4) = 8 - 8 = 0$ .
3
Résultat : Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires. Les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Relation de Chasles

Pensez à un trajet : pour aller de A à C en passant par B, vous faites $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ . La lettre 'B' du milieu disparaît.

Déterminant nul

La méthode du 'gamma' : $(x \times y') - (y \times x')$ . On multiplie en diagonale et on soustrait.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre la norme d'un vecteur et ses coordonnées.

La norme $\|\vec{u}\|$ est une distance scalaire, tandis que $(x; y)$ est une paire de coordonnées dépendant du repère.

Dire que des droites sont confondues au lieu de parallèles.

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, les droites sont parallèles. Pour savoir si elles sont confondues, il faut vérifier si un point de l'une appartient à l'autre.

Se tester

Flashcards

Cliquez sur une carte pour révéler la réponse.

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1ère

Math

Introduction à la dérivation : concepts et applications

La dérivation permet d'étudier la variation d'une fonction et de déterminer sa pente en chaque point. Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coeffic...

Étude du signe d'un trinôme du second degré

Le signe d'un trinôme $ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta = b^2-4ac$ . Si $\Delta > 0$ , le trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$ ...

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ , peu i...

3 notions5 cartes

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Géométrie analytique : calcul vectoriel et colinéarité

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Définition et égalitéCoordonnées
- Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme.
- Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x; y)$ .
2
Opérations sur les vecteurs
Addition et multiplication par un réelColinéarité
- Relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
- Condition de colinéarité : $\vec{u} = k\vec{v}$ ou déterminant nul.
3
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AlignementParallélisme
- Points alignés si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
- Droites parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

À retenir

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Vecteur

À mémoriser

Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur appelée norme.

Exemple

Le déplacement du point $A$ vers le point $B$ est noté $\vec{AB}$ .

Colinéarité

À mémoriser

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ .

Exemple

Si $\vec{u} = (2; 3)$ et $\vec{v} = (4; 6)$ , alors $\vec{v} = 2\vec{u}$ , ils sont colinéaires.

Déterminant

À mémoriser

Pour $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ , le déterminant est $det(\\\vec{u}, \\\vec{v}) = xy' - yx'$ .

Exemple

Si $det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$ , alors les vecteurs sont colinéaires.

En pratique

Exemple résolu

Montrer que les points $A(1; 2)$ , $B(3; 4)$ et $C(5; 6)$ sont alignés.

1
Calcul des coordonnées des vecteurs : $\vec{AB}(3-1; 4-2) = (2; 2)$ et $\vec{AC}(5-1; 6-2) = (4; 4)$ .
2
Calcul du déterminant : $det(\vec{AB}, \vec{AC}) = (2 \times 4) - (2 \times 4) = 8 - 8 = 0$ .
3
Résultat : Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires. Les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

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Déterminant nul

La méthode du 'gamma' : $(x \times y') - (y \times x')$ . On multiplie en diagonale et on soustrait.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre la norme d'un vecteur et ses coordonnées.

La norme $\|\vec{u}\|$ est une distance scalaire, tandis que $(x; y)$ est une paire de coordonnées dépendant du repère.

Dire que des droites sont confondues au lieu de parallèles.

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, les droites sont parallèles. Pour savoir si elles sont confondues, il faut vérifier si un point de l'une appartient à l'autre.

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