Fonctions du second degré : formes et discriminant

Une fonction du second degré s'écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Sa représentation graphique est une parabole dont le sommet $S(\alpha ; \beta)$ est central. Le signe de $a$ détermine sa convexité. Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ permet de trouver les racines : si $\Delta > 0$ , il y a deux racines ; si $\Delta = 0$ , une seule ; si $\Delta < 0$ , aucune. La forme canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta$ facilite l'étude des variations.

Maîtrise du calcul littéral et des identités remarquables

Notion de fonction et de courbe représentative

Résolution d'équations du premier degré

Une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$

Le coefficient $a$ détermine le sens de variation et la courbure

Passage à la forme $a(x-\alpha)^2 + \beta$

Utilisation du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ pour factoriser

La courbe est une parabole

Sommet $S(\alpha ; \beta)$ où $\alpha = -\frac{b}{2a}$

Nombre noté $\Delta = b^2 - 4ac$ permettant de déterminer le nombre de racines de $ax^2 + bx + c = 0$

Si $\Delta > 0$ , l'équation admet deux racines réelles distinctes.

Écriture de la forme $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ qui donne les coordonnées du sommet de la parabole.

$f(x) = 2(x-3)^2 + 4$ a pour sommet $S(3 ; 4)$

Représentation graphique d'une fonction du second degré.

Tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ .

Étudier la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$

Étape 1 : Identifier $a=1$ , $b=-4$ , $c=3$ .

Étape 2 : Calculer le sommet avec $\alpha = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$ . Puis $\beta = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$ .

Résultat : La forme canonique est $f(x) = (x-2)^2 - 1$ . Le sommet est $S(2 ; -1)$

Si $a > 0$ , la courbe est un sourire (positif) ; si $a < 0$ , c'est une courbe triste (négatif).

La formule $-\frac{b}{2a}$ ressemble au début de la formule quadratique $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Oublier la condition $a \neq 0$ .

Si $a=0$ , la fonction devient affine $f(x) = bx + c$ , ce n'est plus du second degré.

Erreur de signe lors du calcul de $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Il faut bien compter le signe de $b$ et celui du quotient. Si $b$ est négatif, $-\frac{b}{2a}$ devient positif.

Quelle est la forme développée d'une fonction du second degré ?

Quelle est la formule du discriminant $\Delta$ ?

Comment calculer l'abscisse du sommet $\alpha$ ?

Que signifie $\Delta < 0$ pour une équation du second degré ?

Quelle est la forme canonique ?

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Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

Structure du cours

Forme d'une fonction polynôme du second degré

Formes canonique et factorisée

Étude graphique

Notions clés

Discriminant

Forme canonique

Parabole

Exemple résolu

Astuces & analogies

Sens de la parabole

Formule du sommet $$\alpha$$

Erreurs fréquentes

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