Math1ère

Fonctions du second degré : formes et discriminant

Une fonction du second degré s'écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Sa représentation graphique est une parabole dont le sommet $S(\alpha ; \beta)$ est central. Le signe de $a$ détermine sa convexité. Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ permet de trouver les racines : si $\Delta > 0$ , il y a deux racines ; si $\Delta = 0$ , une seule ; si $\Delta < 0$ , aucune. La forme canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta$ facilite l'étude des variations.

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Maîtrise du calcul littéral et des identités remarquables
Notion de fonction et de courbe représentative
Résolution d'équations du premier degré

Le plan

Structure du cours

1
Forme d'une fonction polynôme du second degré
DéfinitionForme développée
- Une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$
- Le coefficient $a$ détermine le sens de variation et la courbure
2
Formes canonique et factorisée
Forme canoniqueForme factorisée
- Passage à la forme $a(x-\alpha)^2 + \beta$
- Utilisation du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ pour factoriser
3
Étude graphique
La paraboleSommet et axe de symétrie
- La courbe est une parabole
- Sommet $S(\alpha ; \beta)$ où $\alpha = -\frac{b}{2a}$

À retenir

Notions clés

Discriminant

À mémoriser

Nombre noté $\Delta = b^2 - 4ac$ permettant de déterminer le nombre de racines de $ax^2 + bx + c = 0$

Exemple

Si $\Delta > 0$ , l'équation admet deux racines réelles distinctes.

Forme canonique

À mémoriser

Écriture de la forme $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ qui donne les coordonnées du sommet de la parabole.

Exemple

$f(x) = 2(x-3)^2 + 4$ a pour sommet $S(3 ; 4)$

Parabole

À mémoriser

Représentation graphique d'une fonction du second degré.

Exemple

Tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ .

En pratique

Exemple résolu

Étudier la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$

1
Étape 1 : Identifier $a=1$ , $b=-4$ , $c=3$ .
2
Étape 2 : Calculer le sommet avec $\alpha = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$ . Puis $\beta = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$ .
3
Résultat : La forme canonique est $f(x) = (x-2)^2 - 1$ . Le sommet est $S(2 ; -1)$

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Sens de la parabole

Si $a > 0$ , la courbe est un sourire (positif) ; si $a < 0$ , c'est une courbe triste (négatif).

Formule du sommet $$\alpha$$

La formule $-\frac{b}{2a}$ ressemble au début de la formule quadratique $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $a \neq 0$ .

Si $a=0$ , la fonction devient affine $f(x) = bx + c$ , ce n'est plus du second degré.

Erreur de signe lors du calcul de $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Il faut bien compter le signe de $b$ et celui du quotient. Si $b$ est négatif, $-\frac{b}{2a}$ devient positif.

Se tester

Flashcards

Cliquez sur une carte pour révéler la réponse.

Continuer à réviser

1ère

Math

Introduction à la dérivation : concepts et applications

La dérivation permet d'étudier la variation d'une fonction et de déterminer sa pente en chaque point. Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coeffic...

Étude du signe d'un trinôme du second degré

Le signe d'un trinôme $ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta = b^2-4ac$ . Si $\Delta > 0$ , le trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$ ...

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ , peu i...

3 notions5 cartes

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DéfinitionForme développée
- Une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$
- Le coefficient $a$ détermine le sens de variation et la courbure
2
Formes canonique et factorisée
Forme canoniqueForme factorisée
- Passage à la forme $a(x-\alpha)^2 + \beta$
- Utilisation du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ pour factoriser
3
Étude graphique
La paraboleSommet et axe de symétrie
- La courbe est une parabole
- Sommet $S(\alpha ; \beta)$ où $\alpha = -\frac{b}{2a}$

À retenir

Notions clés

Discriminant

À mémoriser

Nombre noté $\Delta = b^2 - 4ac$ permettant de déterminer le nombre de racines de $ax^2 + bx + c = 0$

Exemple

Si $\Delta > 0$ , l'équation admet deux racines réelles distinctes.

Forme canonique

À mémoriser

Écriture de la forme $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ qui donne les coordonnées du sommet de la parabole.

Exemple

$f(x) = 2(x-3)^2 + 4$ a pour sommet $S(3 ; 4)$

Parabole

À mémoriser

Représentation graphique d'une fonction du second degré.

Exemple

Tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ .

En pratique

Exemple résolu

Étudier la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$

1
Étape 1 : Identifier $a=1$ , $b=-4$ , $c=3$ .
2
Étape 2 : Calculer le sommet avec $\alpha = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$ . Puis $\beta = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$ .
3
Résultat : La forme canonique est $f(x) = (x-2)^2 - 1$ . Le sommet est $S(2 ; -1)$

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Sens de la parabole

Si $a > 0$ , la courbe est un sourire (positif) ; si $a < 0$ , c'est une courbe triste (négatif).

Formule du sommet $$\alpha$$

La formule $-\frac{b}{2a}$ ressemble au début de la formule quadratique $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $a \neq 0$ .

Si $a=0$ , la fonction devient affine $f(x) = bx + c$ , ce n'est plus du second degré.

Erreur de signe lors du calcul de $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Il faut bien compter le signe de $b$ et celui du quotient. Si $b$ est négatif, $-\frac{b}{2a}$ devient positif.

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Formule du sommet $$\alpha$$

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Formes canonique et factorisée

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Parabole

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