Géométrie analytique : vecteurs et équations de droite

La géométrie analytique utilise des coordonnées pour étudier les droites. Une droite est définie par son équation cartésienne $ax + by + c = 0$ . Son vecteur directeur associé est $\vec{u}(-b; a)$ . La colinéarité entre deux vecteurs $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ se vérifie par le déterminant $xy' - yx' = 0$ . Ce chapitre permet de prouver le parallélisme ou l'alignement de points par le calcul pur sans recours aux figures géométriques. Maîtriser le passage entre équation réduite et cartésienne est crucial.

Maîtrise du calcul vectoriel dans le plan (somme, produit par un réel).

Notion de droite et d'équation réduite $y = mx + p$ vue en seconde.

Une droite est définie par un point et un vecteur directeur.

Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Toute droite admet une équation de la forme $ax + by + c = 0$ .

Le vecteur $\vec{u}(-b; a)$ est un vecteur directeur.

Un vecteur non nul $\vec{u}$ est directeur d'une droite $d$ si pour tous points $A, B \in d$ , $\vec{AB}$ est colinéaire à $\vec{u}$ .

Dans $y = 2x + 3$ , le vecteur $\vec{u}(1; 2)$ est directeur.

Équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a; b) \neq (0; 0)$ .

Deux vecteurs $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $xy' - yx' = 0$ .

Si $\vec{u}(1; 2)$ et $\vec{v}(2; 4)$ , alors $1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$ .

Trouver une équation de la droite $(d)$ passant par $A(1; 2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3; -1)$ .

Étape 1 : Soit $M(x; y)$ un point de la droite $(d)$ . Alors $\vec{AM}(x-1; y-2)$ est colinéaire à $\vec{u}(3; -1)$ .

Étape 2 : Le déterminant vaut $(x-1)(-1) - (y-2)(3) = 0$ .

Résultat : $-x + 1 - 3y + 6 = 0$ , soit $-x - 3y + 7 = 0$ ou $x + 3y - 7 = 0$ .

Utiliser la méthode du 'gamma' : on multiplie en croix $(x \times y')$ puis $-(y \times x')$ .

Inversez les coefficients et changez un signe : $(a; b) \to (-b; a)$ .

Confondre le vecteur directeur $\vec{u}(-b; a)$ avec les coefficients de l'équation.

Le vecteur directeur est $\vec{u}(-b; a)$ . Si $2x + 3y = 0$ , alors $a=2, b=3$ , donc $\vec{u}(-3; 2)$ . Attention aux signes !

Penser qu'une droite n'a qu'un seul vecteur directeur.

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

Quelle est la forme générale d'une équation cartésienne ?

Soit la droite d'équation $ax + by + c = 0$ . Donner un vecteur directeur.

Quelle est la condition de colinéarité pour $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ ,

Comment vérifier qu'un point $A(x_A; y_A)$ appartient à la droite $ax + by + c = 0$ ?

Que signifie un déterminant nul entre deux vecteurs directeurs de droites ?

Comprendre le cours

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Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

Structure du cours

Le vecteur directeur d'une droite

Équations cartésiennes de droites

Notions clés

Vecteur directeur

Équation cartésienne

Condition de colinéarité

Exemple résolu

Astuces & analogies

Déterminant

Passage de $$ax+by+c=0$$ au vecteur directeur

Erreurs fréquentes

Flashcards

Équations et inéquations : méthodes et tableaux de signes

Vecteurs et géométrie plane : bases et colinéarité