Math1ère

Géométrie analytique : vecteurs et équations de droite

La géométrie analytique utilise des coordonnées pour étudier les droites. Une droite est définie par son équation cartésienne $ax + by + c = 0$ . Son vecteur directeur associé est $\vec{u}(-b; a)$ . La colinéarité entre deux vecteurs $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ se vérifie par le déterminant $xy' - yx' = 0$ . Ce chapitre permet de prouver le parallélisme ou l'alignement de points par le calcul pur sans recours aux figures géométriques. Maîtriser le passage entre équation réduite et cartésienne est crucial.

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Maîtrise du calcul vectoriel dans le plan (somme, produit par un réel).
Notion de droite et d'équation réduite $y = mx + p$ vue en seconde.

Le plan

Structure du cours

1
Le vecteur directeur d'une droite
Définition et propriétésCondition de colinéarité
- Une droite est définie par un point et un vecteur directeur.
- Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles.
2
Équations cartésiennes de droites
Forme généralePassage de la forme réduite à la cartésienne
- Toute droite admet une équation de la forme $ax + by + c = 0$ .
- Le vecteur $\vec{u}(-b; a)$ est un vecteur directeur.

À retenir

Notions clés

Vecteur directeur

À mémoriser

Un vecteur non nul $\vec{u}$ est directeur d'une droite $d$ si pour tous points $A, B \in d$ , $\vec{AB}$ est colinéaire à $\vec{u}$ .

Exemple

Dans $y = 2x + 3$ , le vecteur $\vec{u}(1; 2)$ est directeur.

Équation cartésienne

À mémoriser

Équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a; b) \neq (0; 0)$ .

Exemple

$2x - 3y + 5 = 0$ .

Condition de colinéarité

À mémoriser

Deux vecteurs $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $xy' - yx' = 0$ .

Exemple

Si $\vec{u}(1; 2)$ et $\vec{v}(2; 4)$ , alors $1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$ .

En pratique

Exemple résolu

Trouver une équation de la droite $(d)$ passant par $A(1; 2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3; -1)$ .

1
Étape 1 : Soit $M(x; y)$ un point de la droite $(d)$ . Alors $\vec{AM}(x-1; y-2)$ est colinéaire à $\vec{u}(3; -1)$ .
2
Étape 2 : Le déterminant vaut $(x-1)(-1) - (y-2)(3) = 0$ .
3
Résultat : $-x + 1 - 3y + 6 = 0$ , soit $-x - 3y + 7 = 0$ ou $x + 3y - 7 = 0$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Déterminant

Utiliser la méthode du 'gamma' : on multiplie en croix $(x \times y')$ puis $-(y \times x')$ .

Passage de $$ax+by+c=0$$ au vecteur directeur

Inversez les coefficients et changez un signe : $(a; b) \to (-b; a)$ .

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre le vecteur directeur $\vec{u}(-b; a)$ avec les coefficients de l'équation.

Le vecteur directeur est $\vec{u}(-b; a)$ . Si $2x + 3y = 0$ , alors $a=2, b=3$ , donc $\vec{u}(-3; 2)$ . Attention aux signes !

Penser qu'une droite n'a qu'un seul vecteur directeur.

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

Se tester

Flashcards

Cliquez sur une carte pour révéler la réponse.

Continuer à réviser

1ère

Math

Introduction à la dérivation : concepts et applications

La dérivation permet d'étudier la variation d'une fonction et de déterminer sa pente en chaque point. Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coeffic...

Étude du signe d'un trinôme du second degré

Le signe d'un trinôme $ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta = b^2-4ac$ . Si $\Delta > 0$ , le trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$ ...

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ , peu i...

3 notions5 cartes

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Géométrie analytique : vecteurs et équations de droite

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Notion de droite et d'équation réduite $y = mx + p$ vue en seconde.

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1
Le vecteur directeur d'une droite
Définition et propriétésCondition de colinéarité
- Une droite est définie par un point et un vecteur directeur.
- Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles.
2
Équations cartésiennes de droites
Forme généralePassage de la forme réduite à la cartésienne
- Toute droite admet une équation de la forme $ax + by + c = 0$ .
- Le vecteur $\vec{u}(-b; a)$ est un vecteur directeur.

À retenir

Notions clés

Vecteur directeur

À mémoriser

Un vecteur non nul $\vec{u}$ est directeur d'une droite $d$ si pour tous points $A, B \in d$ , $\vec{AB}$ est colinéaire à $\vec{u}$ .

Exemple

Dans $y = 2x + 3$ , le vecteur $\vec{u}(1; 2)$ est directeur.

Équation cartésienne

À mémoriser

Équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a; b) \neq (0; 0)$ .

Exemple

$2x - 3y + 5 = 0$ .

Condition de colinéarité

À mémoriser

Deux vecteurs $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $xy' - yx' = 0$ .

Exemple

Si $\vec{u}(1; 2)$ et $\vec{v}(2; 4)$ , alors $1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$ .

En pratique

Exemple résolu

Trouver une équation de la droite $(d)$ passant par $A(1; 2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3; -1)$ .

1
Étape 1 : Soit $M(x; y)$ un point de la droite $(d)$ . Alors $\vec{AM}(x-1; y-2)$ est colinéaire à $\vec{u}(3; -1)$ .
2
Étape 2 : Le déterminant vaut $(x-1)(-1) - (y-2)(3) = 0$ .
3
Résultat : $-x + 1 - 3y + 6 = 0$ , soit $-x - 3y + 7 = 0$ ou $x + 3y - 7 = 0$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Déterminant

Utiliser la méthode du 'gamma' : on multiplie en croix $(x \times y')$ puis $-(y \times x')$ .

Passage de $$ax+by+c=0$$ au vecteur directeur

Inversez les coefficients et changez un signe : $(a; b) \to (-b; a)$ .

Ne plus se tromper

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Confondre le vecteur directeur $\vec{u}(-b; a)$ avec les coefficients de l'équation.

Le vecteur directeur est $\vec{u}(-b; a)$ . Si $2x + 3y = 0$ , alors $a=2, b=3$ , donc $\vec{u}(-3; 2)$ . Attention aux signes !

Penser qu'une droite n'a qu'un seul vecteur directeur.

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

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Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

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Vecteur directeur

Équation cartésienne

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