Notions fondamentales sur la dérivation

La dérivation permet d'étudier le comportement local d'une fonction via le nombre dérivé $f'(a)$ . Géométriquement, $f'(a)$ représente la pente de la tangente à la courbe en $a$ . La fonction dérivée $f'$ obtenue par des règles de calcul (comme $(uv)'=u'v+uv'$ ) est un outil puissant. Le signe de $f'(x)$ indique les variations de $f$ : $f' > 0$ pour la croissance et $f' < 0$ pour la décroissance. Les points où $f'(x)=0$ en changeant de signe sont souvent des extremums. Ce chapitre lie le calcul algébrique à la géométrie analytique.

Maîtrise du calcul algébrique

Notion de limite intuitive

Étude des fonctions usuelles (affines, carrées, inverses, racines carrées)

La limite du taux d'accroissement quand $h$ tend vers $0$

Interprétation graphique comme coefficient directeur de la tangente

Lien entre dérivabilité et continuité

Formules de dérivation de base et calculs avec $(u+v)'$ , $(uv)'$ , $(1/u)'$

Lien entre signe de la dérivée et sens de variation

Recherche des points où la dérivée s'annule en changeant de signe

Le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ , est la limite du taux d'accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$ .

Pour $f(x)=x^2$ , $f'(a) = 2a$ .

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

Tangente à $f(x)=x^2$ en $a=1$ est $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$ .

La fonction qui, à tout réel $x$ , associe le nombre dérivé $f'(x)$ .

Si $f(x) = x^n$ , alors $f'(x) = nx^{n-1}$ .

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2, 2]$ .

Étape 1 : Calculer la dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3$ .

Étape 2 : Étudier le signe de $3(x-1)(x+1)$ . Elle est positive sur $[-2, -1]$ et $[1, 2]$ , négative sur $[-1, 1]$ .

Résultat : La fonction est croissante sur $[-2, -1]$ , décroissante sur $[-1, 1]$ et croissante sur $[1, 2]$ .

C'est la vitesse instantanée d'un mobile au lieu de la vitesse moyenne sur un intervalle.

Une équipe de deux joueurs ( $u$ et $v$ ) : à chaque tour, l'un se repose (dérivé) pendant que l'autre travaille : $u'v + uv'$ .

Confondre $f(a)$ et $f'(a)$ dans l'équation de la tangente.

$f(a)$ est l'ordonnée du point, $f'(a)$ est la pente (inclinaison).

Croire qu'une fonction dérivable est toujours dérivable deux fois.

La dérivabilité est une propriété locale ; elle nécessite que la limite existe et soit finie.

Définition du nombre dérivé $f'(a)$

Équation de la tangente en $a$

Dérivée de $\frac{1}{u}$

Lien signe de $f'$ et variation

Comprendre le cours

Continuer à réviser

Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

Structure du cours

Le nombre dérivé

La fonction dérivée

Applications de la dérivation

Notions clés

Nombre dérivé

Équation de la tangente

Fonction dérivée

Exemple résolu

Astuces & analogies

Le nombre dérivé

Formule du produit $$(uv)'$$

Erreurs fréquentes

Flashcards

Équations et inéquations : méthodes et tableaux de signes

Vecteurs et géométrie plane : bases et colinéarité