Propriétés et dérivées de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée $e^x$ , est unique car elle est égale à sa propre dérivée. Elle est définie sur $\mathbb{R}$ , strictement positive et strictement croissante. Sa valeur en $0$ est $1$ . Les règles de calcul suivent celles des puissances : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ . Pour dériver une fonction composée $e^{u(x)}$ , on utilise la formule $u'(x)e^{u(x)}$ . C'est un outil essentiel pour modéliser la croissance rapide.

Maîtrise des puissances et des règles de calcul algébrique.

Compréhension du concept de nombre dérivé et de la dérivée d'une fonction.

Notions de base sur les fonctions (domaine de définition, sens de variation).

La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$ .

Elle transforme les sommes en produits : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

La fonction exponentielle est strictement positive pour tout réel $x$ , soit $e^x > 0$ .

Fonction notée $exp(x)$ ou $e^x$ , qui est sa propre dérivée.

La pente de la tangente en tout point $x$ est égale à la valeur de la fonction $e^x$ .

Relation fondamentale $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

$e^{2x} = e^x \times e^x = (e^x)^2$ .

Pour une fonction composée, $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .

Si $f(x) = e^{3x}$ , alors $f'(x) = 3e^{3x}$ .

Étudier les variations de la fonction $f(x) = (x-1)e^x$ .

Étape 1 : Calculer la dérivée en utilisant $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u=x-1$ et $v=e^x$ . On obtient $f'(x) = 1 \times e^x + (x-1)e^x = e^x(1 + x - 1) = xe^x$ .

Étape 2 : Déterminer le signe de $f'(x)$ . Comme $e^x > 0$ toujours, le signe de $f'(x)$ dépend uniquement de $x$ .

Résultat : $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ (fonction décroissante) et $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ (fonction croissante).

C'est la fonction "miroir" ou "immortelle" : elle ne change pas quand on la dérive ( $(e^x)' = e^x$ ).

Imaginez $e^x$ comme une température en degrés Kelvin : elle est toujours strictement au-dessus du zéro absolu, donc toujours positive.

Croire que $e^{a+b} = e^a + e^b$ .

Non, c'est une règle de puissance. La somme dans l'exposant devient un produit : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

Penser que $e^x$ peut être négatif ou nul.

Pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ . La courbe est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.

Quelle est la dérivée de $f(x) = e^x$ ?

Quel est le signe de $e^x$ pour tout réel $x$ ?

Quelle est la valeur de $e^0$ ?

Donner la formule de la dérivée de $e^{u(x)}$ .

Simplifier $e^a \times e^b$ .

La fonction $exp$ est-elle croissante ou décroissante ?

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Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

Structure du cours

Définition et propriétés fondamentales

Étude de la fonction

Notions clés

Fonction exponentielle

Propriété fonctionnelle

Dérivée de $$e^u$$

Exemple résolu

Astuces & analogies

La dérivée de $$e^x$$

Le signe de $$e^x$$

Erreurs fréquentes

Flashcards

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