Math1ère

Propriétés et dérivées de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée $e^x$ , est unique car elle est égale à sa propre dérivée. Elle est définie sur $\mathbb{R}$ , strictement positive et strictement croissante. Sa valeur en $0$ est $1$ . Les règles de calcul suivent celles des puissances : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ . Pour dériver une fonction composée $e^{u(x)}$ , on utilise la formule $u'(x)e^{u(x)}$ . C'est un outil essentiel pour modéliser la croissance rapide.

3 notions clés6 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Maîtrise des puissances et des règles de calcul algébrique.
Compréhension du concept de nombre dérivé et de la dérivée d'une fonction.
Notions de base sur les fonctions (domaine de définition, sens de variation).

Le plan

Structure du cours

1
Définition et propriétés fondamentales
Existence et unicitéPropriétés algébriques
- La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$ .
- Elle transforme les sommes en produits : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .
2
Étude de la fonction
Sens de variationSigne de la fonction
- La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
- La fonction exponentielle est strictement positive pour tout réel $x$ , soit $e^x > 0$ .

À retenir

Notions clés

Fonction exponentielle

À mémoriser

Fonction notée $exp(x)$ ou $e^x$ , qui est sa propre dérivée.

Exemple

La pente de la tangente en tout point $x$ est égale à la valeur de la fonction $e^x$ .

Propriété fonctionnelle

À mémoriser

Relation fondamentale $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

Exemple

$e^{2x} = e^x \times e^x = (e^x)^2$ .

Dérivée de $$e^u$$

À mémoriser

Pour une fonction composée, $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .

Exemple

Si $f(x) = e^{3x}$ , alors $f'(x) = 3e^{3x}$ .

En pratique

Exemple résolu

Étudier les variations de la fonction $f(x) = (x-1)e^x$ .

1
Étape 1 : Calculer la dérivée en utilisant $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u=x-1$ et $v=e^x$ . On obtient $f'(x) = 1 \times e^x + (x-1)e^x = e^x(1 + x - 1) = xe^x$ .
2
Étape 2 : Déterminer le signe de $f'(x)$ . Comme $e^x > 0$ toujours, le signe de $f'(x)$ dépend uniquement de $x$ .
3
Résultat : $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ (fonction décroissante) et $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ (fonction croissante).

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

La dérivée de $$e^x$$

C'est la fonction "miroir" ou "immortelle" : elle ne change pas quand on la dérive ( $(e^x)' = e^x$ ).

Le signe de $$e^x$$

Imaginez $e^x$ comme une température en degrés Kelvin : elle est toujours strictement au-dessus du zéro absolu, donc toujours positive.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Croire que $e^{a+b} = e^a + e^b$ .

Non, c'est une règle de puissance. La somme dans l'exposant devient un produit : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

Penser que $e^x$ peut être négatif ou nul.

Pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ . La courbe est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.

Se tester

Flashcards

Cliquez sur une carte pour révéler la réponse.

Continuer à réviser

1ère

Math

Introduction à la dérivation : concepts et applications

La dérivation permet d'étudier la variation d'une fonction et de déterminer sa pente en chaque point. Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coeffic...

Étude du signe d'un trinôme du second degré

Le signe d'un trinôme $ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta = b^2-4ac$ . Si $\Delta > 0$ , le trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$ ...

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ , peu i...

3 notions5 cartes

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Propriétés et dérivées de la fonction exponentielle

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1
Définition et propriétés fondamentales
Existence et unicitéPropriétés algébriques
- La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$ .
- Elle transforme les sommes en produits : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .
2
Étude de la fonction
Sens de variationSigne de la fonction
- La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
- La fonction exponentielle est strictement positive pour tout réel $x$ , soit $e^x > 0$ .

À retenir

Notions clés

Fonction exponentielle

À mémoriser

Fonction notée $exp(x)$ ou $e^x$ , qui est sa propre dérivée.

Exemple

La pente de la tangente en tout point $x$ est égale à la valeur de la fonction $e^x$ .

Propriété fonctionnelle

À mémoriser

Relation fondamentale $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

Exemple

$e^{2x} = e^x \times e^x = (e^x)^2$ .

Dérivée de $$e^u$$

À mémoriser

Pour une fonction composée, $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .

Exemple

Si $f(x) = e^{3x}$ , alors $f'(x) = 3e^{3x}$ .

En pratique

Exemple résolu

Étudier les variations de la fonction $f(x) = (x-1)e^x$ .

1
Étape 1 : Calculer la dérivée en utilisant $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u=x-1$ et $v=e^x$ . On obtient $f'(x) = 1 \times e^x + (x-1)e^x = e^x(1 + x - 1) = xe^x$ .
2
Étape 2 : Déterminer le signe de $f'(x)$ . Comme $e^x > 0$ toujours, le signe de $f'(x)$ dépend uniquement de $x$ .
3
Résultat : $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ (fonction décroissante) et $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ (fonction croissante).

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La dérivée de $$e^x$$

C'est la fonction "miroir" ou "immortelle" : elle ne change pas quand on la dérive ( $(e^x)' = e^x$ ).

Le signe de $$e^x$$

Imaginez $e^x$ comme une température en degrés Kelvin : elle est toujours strictement au-dessus du zéro absolu, donc toujours positive.

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Croire que $e^{a+b} = e^a + e^b$ .

Non, c'est une règle de puissance. La somme dans l'exposant devient un produit : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

Penser que $e^x$ peut être négatif ou nul.

Pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ . La courbe est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.

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Le signe d'un trinôme $ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta = b^2-4ac$ . Si $\Delta > 0$ , le trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$ ...

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