Math1ère

Propriétés et dérivation de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée $exp$ ou $e^x$ , est unique car elle est sa propre dérivée : $(e^x)' = e^x$ . Elle est définie sur $\mathbb{R}$ , strictement croissante et strictement positive. Elle transforme les additions en multiplications : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ . Sa courbe représentative passe par $(0;1)$ et possède une asymptote horizontale en $-\infty$ . Pour dériver $e^{u(x)}$ , il faut utiliser la formule $u'(x)e^{u(x)}$ . C'est un outil essentiel pour modéliser des phénomènes de croissance rapide.

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Maîtrise des fonctions dérivables et de la dérivation.
Compréhension des puissances de nombres réels.
Étude des limites de fonctions usuelles.

Le plan

Structure du cours

1
Définition et propriétés fondamentales
Existence et unicitéPropriétés algébriques
- La fonction exponentielle, notée $exp$ ou $e^x$ , est l'unique fonction telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ .
- Elle transforme les sommes en produits : $e^{a+b} = e^a imes e^b$ .
2
Étude analytique de la fonction
Dérivée et variationsCourbe représentative
- La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ car sa dérivée $e^x$ est strictement positive.
- Sa courbe admet une asymptote horizontale en $-\infty$ .

À retenir

Notions clés

La fonction exponentielle ($$exp$$)

À mémoriser

Fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$ .

Exemple

La valeur $e \approx 2,718$ correspond à $exp(1)$ .

Propriété fonctionnelle

À mémoriser

Relation fondamentale : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

Exemple

$e^{2+3} = e^2 \times e^3$ .

Dérivée de la composée

À mémoriser

Pour une fonction $u$ , la dérivée de $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$ .

Exemple

La dérivée de $e^{2x}$ est $2e^{2x}$ .

En pratique

Exemple résolu

Étudier la fonction $f(x) = e^{2x} - e^x$ pour trouver son signe.

1
Étape 1 : Factoriser par $e^x$ pour obtenir $f(x) = e^x(e^x - 1)$ .
2
Étape 2 : Étudier le signe de chaque facteur : $e^x > 0$ toujours, et $e^x - 1 > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0$ .
3
Résultat : $f(x) < 0$ sur $]-\infty; 0[$ , $f(0) = 0$ , et $f(x) > 0$ sur $]0; +\infty[$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

La dérivée de $$e^x$$

C'est la fonction "miroir" : elle se reproduit elle-même quand on la dérive.

Le signe de $$e^x$$

Pensez à une croissance qui ne touche jamais le sol (l'axe des abscisses), elle est toujours au-dessus : $e^x > 0$ .

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Croire que $e^{a+b} = e^a + e^b$ .

La fonction exponentielle transforme la somme en produit : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ . Il n'y a aucune distribution possible pour la somme.

Oublier la dérivée de $u(x)$ dans $e^{u(x)}$ .

D'après la formule de dérivation des composées, il faut toujours multiplier par la dérivée de l'exposant : $(e^u)' = u' e^u$ . Pour $e^{3x}$ , la dérivée est $3e^{3x}$ .

Se tester

Flashcards

Cliquez sur une carte pour révéler la réponse.

Continuer à réviser

1ère

Math

Introduction à la dérivation : concepts et applications

La dérivation permet d'étudier la variation d'une fonction et de déterminer sa pente en chaque point. Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coeffic...

Étude du signe d'un trinôme du second degré

Le signe d'un trinôme $ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta = b^2-4ac$ . Si $\Delta > 0$ , le trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$ ...

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ , peu i...

3 notions5 cartes

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Propriétés et dérivation de la fonction exponentielle

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

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Compréhension des puissances de nombres réels.
Étude des limites de fonctions usuelles.

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1
Définition et propriétés fondamentales
Existence et unicitéPropriétés algébriques
- La fonction exponentielle, notée $exp$ ou $e^x$ , est l'unique fonction telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ .
- Elle transforme les sommes en produits : $e^{a+b} = e^a imes e^b$ .
2
Étude analytique de la fonction
Dérivée et variationsCourbe représentative
- La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ car sa dérivée $e^x$ est strictement positive.
- Sa courbe admet une asymptote horizontale en $-\infty$ .

À retenir

Notions clés

La fonction exponentielle ($$exp$$)

À mémoriser

Fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$ .

Exemple

La valeur $e \approx 2,718$ correspond à $exp(1)$ .

Propriété fonctionnelle

À mémoriser

Relation fondamentale : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

Exemple

$e^{2+3} = e^2 \times e^3$ .

Dérivée de la composée

À mémoriser

Pour une fonction $u$ , la dérivée de $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$ .

Exemple

La dérivée de $e^{2x}$ est $2e^{2x}$ .

En pratique

Exemple résolu

Étudier la fonction $f(x) = e^{2x} - e^x$ pour trouver son signe.

1
Étape 1 : Factoriser par $e^x$ pour obtenir $f(x) = e^x(e^x - 1)$ .
2
Étape 2 : Étudier le signe de chaque facteur : $e^x > 0$ toujours, et $e^x - 1 > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0$ .
3
Résultat : $f(x) < 0$ sur $]-\infty; 0[$ , $f(0) = 0$ , et $f(x) > 0$ sur $]0; +\infty[$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

La dérivée de $$e^x$$

C'est la fonction "miroir" : elle se reproduit elle-même quand on la dérive.

Le signe de $$e^x$$

Pensez à une croissance qui ne touche jamais le sol (l'axe des abscisses), elle est toujours au-dessus : $e^x > 0$ .

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Croire que $e^{a+b} = e^a + e^b$ .

La fonction exponentielle transforme la somme en produit : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ . Il n'y a aucune distribution possible pour la somme.

Oublier la dérivée de $u(x)$ dans $e^{u(x)}$ .

D'après la formule de dérivation des composées, il faut toujours multiplier par la dérivée de l'exposant : $(e^u)' = u' e^u$ . Pour $e^{3x}$ , la dérivée est $3e^{3x}$ .

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La dérivation permet d'étudier la variation d'une fonction et de déterminer sa pente en chaque point. Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coeffic...

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Le signe d'un trinôme $ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta = b^2-4ac$ . Si $\Delta > 0$ , le trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$ ...

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Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

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La fonction exponentielle ($$exp$$)

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