Math1ère

Le produit scalaire : définitions et propriétés

Le produit scalaire est une opération associant deux vecteurs à un nombre réel. En géométrie, il se calcule par $||\vec{u}|| imes ||\vec{v}|| imes \cos( heta)$ . En coordonnées, il vaut $xx' + yy'$ . Il permet de vérifier l'orthogonalité de deux vecteurs quand le produit est nul. Il respecte des identités remarquables proches du calcul algébrique classique. C'est un outil puissant pour calculer des distances ou des angles dans le plan. Le carré scalaire d'un vecteur donne la norme au carré : $||\vec{u}||^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$ .

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Maîtrise du calcul vectoriel de base (addition, multiplication par un scalaire)
Connaissance des repères orthonormés
Notions de trigonométrie (cosinus, sinus)

Le plan

Structure du cours

1
Définitions du produit scalaire
Définition géométriqueDéfinition analytique
- Relation avec les normes et l'angle
- Expression dans une base orthonormée
2
Propriétés algébriques
Symétrie et linéaritéIdentités remarquables
- Commutativité
- Distributivité par rapport à l'addition
- Développement de $( \vec{u} + \vec{v} )^2$
3
Applications du produit scalaire
OrthogonalitéCalcul de distance et d'angleThéorème d'Al-Kashi
- Condition d'orthogonalité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
- Expression de la norme d'un vecteur

À retenir

Notions clés

Produit scalaire géométrique

À mémoriser

Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| imes ||\vec{v}|| imes \cos( heta)$ , où $heta$ est l'angle orienté entre les deux vecteurs.

Exemple

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, $\cos(90^{\circ}) = 0$ , donc le produit est nul.

Produit scalaire analytique

À mémoriser

Dans un repère orthonormé, si $\vec{u} = (x; y)$ et $\vec{v} = (x'; y')$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$ .

Exemple

Pour $\vec{u}=(2; 3)$ et $\vec{v}=(4; -1)$ , $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2 imes 4) + (3 imes -1) = 8 - 3 = 5$ .

Norme d'un vecteur

À mémoriser

La norme au carré d'un vecteur est égale à son produit scalaire par lui-même : $||\vec{u}||^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$ .

Exemple

Pour $\vec{u}=(3; 4)$ , $||\vec{u}||^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ , donc $||\vec{u}|| = 5$ .

En pratique

Exemple résolu

Calculer l'angle $\widehat{ABC}$ dans un triangle $ABC$ de côtés connus $AB=3$ , $AC=4$ , $BC=5$ .

1
Étape 1 : Utiliser la relation $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = ||\vec{BA}|| imes ||\vec{BC}|| imes \cos(\widehat{ABC})$ .
2
Étape 2 : Développer le produit scalaire avec les coordonnées ou la formule du cosinus : $\cos(\widehat{ABC}) = rac{BA^2 + BC^2 - AC^2}{2 imes BA imes BC}$ .
3
Étape 3 : Calculer numériquement : $\cos(\widehat{ABC}) = rac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 imes 3 imes 5} = rac{9+25-16}{30} = rac{18}{30} = 0,6$ .
4
Résultat : $\widehat{ABC} = \arccos(0,6) \approx 53,1^{\circ}$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Orthogonalité

Le produit scalaire est nul si les vecteurs forment un 'L' parfait. Pensez à un angle droit : pas de progression dans la direction de l'autre vecteur.

Identités remarquables

Elles se manipulent exactement comme avec des nombres réels, en remplaçant le carré par le produit scalaire : $(\vec{u} + \vec{v})^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2$ .

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Croire que le résultat est un vecteur.

Le produit 'scalaire' porte bien son nom : le résultat est toujours un nombre réel, pas un vecteur.

Appliquer la distributivité sur le produit scalaire de manière erronée avec des normes.

Le produit scalaire est une opération entre vecteurs. Attention à ne pas confondre $||\vec{u} + \vec{v}||$ avec $||\vec{u}|| + ||\vec{v}||$ .

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Le signe d'un trinôme $ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta = b^2-4ac$ . Si $\Delta > 0$ , le trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$ ...

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La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ , peu i...

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Définitions du produit scalaire
Définition géométriqueDéfinition analytique
- Relation avec les normes et l'angle
- Expression dans une base orthonormée
2
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Symétrie et linéaritéIdentités remarquables
- Commutativité
- Distributivité par rapport à l'addition
- Développement de $( \vec{u} + \vec{v} )^2$
3
Applications du produit scalaire
OrthogonalitéCalcul de distance et d'angleThéorème d'Al-Kashi
- Condition d'orthogonalité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
- Expression de la norme d'un vecteur

À retenir

Notions clés

Produit scalaire géométrique

À mémoriser

Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| imes ||\vec{v}|| imes \cos( heta)$ , où $heta$ est l'angle orienté entre les deux vecteurs.

Exemple

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, $\cos(90^{\circ}) = 0$ , donc le produit est nul.

Produit scalaire analytique

À mémoriser

Dans un repère orthonormé, si $\vec{u} = (x; y)$ et $\vec{v} = (x'; y')$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$ .

Exemple

Pour $\vec{u}=(2; 3)$ et $\vec{v}=(4; -1)$ , $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2 imes 4) + (3 imes -1) = 8 - 3 = 5$ .

Norme d'un vecteur

À mémoriser

La norme au carré d'un vecteur est égale à son produit scalaire par lui-même : $||\vec{u}||^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$ .

Exemple

Pour $\vec{u}=(3; 4)$ , $||\vec{u}||^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ , donc $||\vec{u}|| = 5$ .

En pratique

Exemple résolu

Calculer l'angle $\widehat{ABC}$ dans un triangle $ABC$ de côtés connus $AB=3$ , $AC=4$ , $BC=5$ .

1
Étape 1 : Utiliser la relation $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = ||\vec{BA}|| imes ||\vec{BC}|| imes \cos(\widehat{ABC})$ .
2
Étape 2 : Développer le produit scalaire avec les coordonnées ou la formule du cosinus : $\cos(\widehat{ABC}) = rac{BA^2 + BC^2 - AC^2}{2 imes BA imes BC}$ .
3
Étape 3 : Calculer numériquement : $\cos(\widehat{ABC}) = rac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 imes 3 imes 5} = rac{9+25-16}{30} = rac{18}{30} = 0,6$ .
4
Résultat : $\widehat{ABC} = \arccos(0,6) \approx 53,1^{\circ}$ .

Mémoriser plus vite

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Orthogonalité

Le produit scalaire est nul si les vecteurs forment un 'L' parfait. Pensez à un angle droit : pas de progression dans la direction de l'autre vecteur.

Identités remarquables

Elles se manipulent exactement comme avec des nombres réels, en remplaçant le carré par le produit scalaire : $(\vec{u} + \vec{v})^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2$ .

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Croire que le résultat est un vecteur.

Le produit 'scalaire' porte bien son nom : le résultat est toujours un nombre réel, pas un vecteur.

Appliquer la distributivité sur le produit scalaire de manière erronée avec des normes.

Le produit scalaire est une opération entre vecteurs. Attention à ne pas confondre $||\vec{u} + \vec{v}||$ avec $||\vec{u}|| + ||\vec{v}||$ .

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