Math1ère

Probabilités conditionnelles : cours et formules essentielles

Une probabilité conditionnelle $P_A(B)$ mesure la chance que $B$ se réalise sachant que $A$ est déjà vrai. On la calcule par le rapport $\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ . La règle du produit permet d'obtenir l'intersection : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ . Pour calculer la probabilité totale d'un événement $B$ , on utilise la formule $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$ . Deux événements sont indépendants si l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre, ce qui se traduit par $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . Les arbres pondérés sont l'outil visuel privilégié pour manipuler ces notions en première.

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Notion de base de probabilité ( $0 \le P(A) \le 1$ )
Calcul sur les ensembles (union, intersection, complémentaire)
Lecture et construction d'arbres de probabilité

Le plan

Structure du cours

1
Fondements des probabilités conditionnelles
Définition de la probabilité conditionnelleFormule de la probabilité d'une intersection
- Notion d'univers réduit par une condition
- Notation $P_A(B)$ ou $P(B|A)$
- La règle du produit : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
2
Représentation et calcul
Arbres pondérésFormule des probabilités totales
- Somme des probabilités sur les branches issues d'un même nœud égale à 1
- Partition de l'univers avec des événements incompatibles
- Calcul de $P(B)$ via $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$

À retenir

Notions clés

Probabilité conditionnelle

À mémoriser

Probabilité de l'événement $B$ sachant que $A$ est réalisé, définie par $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$ .

Exemple

Tirer un roi dans un jeu sachant qu'on a tiré une carte rouge.

Formule des probabilités totales

À mémoriser

Si $A$ et $\bar{A}$ forment une partition de l'univers, alors $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$ .

Exemple

Calculer la probabilité qu'un élève réussisse son examen selon qu'il a révisé ou non.

Événements indépendants

À mémoriser

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P_A(B) = P(B)$ , soit $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

Exemple

Lancer deux dés équilibrés : le résultat du premier n'influence pas le second.

En pratique

Exemple résolu

Dans une urne, 60% des boules sont rouges ( $R$ ). Parmi les rouges, 20% portent un numéro ( $N$ ). Parmi les non-rouges, 50% portent un numéro.

1
Étape 1 : Identifier les probabilités données : $P(R) = 0,6$ , $P(\bar{R}) = 0,4$ , $P_R(N) = 0,2$ , $P_{\bar{R}}(N) = 0,5$ .
2
Étape 2 : Appliquer la formule des probabilités totales : $P(N) = P(R \cap N) + P(\bar{R} \cap N) = P(R) \times P_R(N) + P(\bar{R}) \times P_{\bar{R}}(N)$ .
3
Résultat : $P(N) = (0,6 \times 0,2) + (0,4 \times 0,5) = 0,12 + 0,20 = 0,32$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Probabilité conditionnelle

La condition $A$ agit comme un 'filtre' : on réduit l'univers initial à la seule partie $A$ , puis on regarde ce que $B$ occupe dans cette nouvelle zone.

Formule des probabilités totales

C'est une 'moyenne pondérée' : on suit tous les chemins menant à $B$ dans l'arbre et on additionne leurs probabilités.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ .

La condition est le 'sachant que'. $P_A(B)$ signifie qu'on est déjà dans $A$ . $P_B(A)$ signifie qu'on est dans $B$ . Ce sont deux valeurs distinctes.

Oublier la condition $P(A) > 0$ pour définir $P_A(B)$ .

On ne peut pas diviser par une probabilité nulle, donc l'événement conditionnant doit être de probabilité non nulle.

Se tester

Flashcards

Cliquez sur une carte pour révéler la réponse.

Continuer à réviser

1ère

Math

Introduction à la dérivation : concepts et applications

La dérivation permet d'étudier la variation d'une fonction et de déterminer sa pente en chaque point. Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coeffic...

Étude du signe d'un trinôme du second degré

Le signe d'un trinôme $ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta = b^2-4ac$ . Si $\Delta > 0$ , le trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$ ...

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ , peu i...

3 notions5 cartes

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Probabilités conditionnelles : cours et formules essentielles

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Définition de la probabilité conditionnelleFormule de la probabilité d'une intersection
- Notion d'univers réduit par une condition
- Notation $P_A(B)$ ou $P(B|A)$
- La règle du produit : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
2
Représentation et calcul
Arbres pondérésFormule des probabilités totales
- Somme des probabilités sur les branches issues d'un même nœud égale à 1
- Partition de l'univers avec des événements incompatibles
- Calcul de $P(B)$ via $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$

À retenir

Notions clés

Probabilité conditionnelle

À mémoriser

Probabilité de l'événement $B$ sachant que $A$ est réalisé, définie par $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$ .

Exemple

Tirer un roi dans un jeu sachant qu'on a tiré une carte rouge.

Formule des probabilités totales

À mémoriser

Si $A$ et $\bar{A}$ forment une partition de l'univers, alors $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$ .

Exemple

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Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P_A(B) = P(B)$ , soit $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

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Lancer deux dés équilibrés : le résultat du premier n'influence pas le second.

En pratique

Exemple résolu

Dans une urne, 60% des boules sont rouges ( $R$ ). Parmi les rouges, 20% portent un numéro ( $N$ ). Parmi les non-rouges, 50% portent un numéro.

1
Étape 1 : Identifier les probabilités données : $P(R) = 0,6$ , $P(\bar{R}) = 0,4$ , $P_R(N) = 0,2$ , $P_{\bar{R}}(N) = 0,5$ .
2
Étape 2 : Appliquer la formule des probabilités totales : $P(N) = P(R \cap N) + P(\bar{R} \cap N) = P(R) \times P_R(N) + P(\bar{R}) \times P_{\bar{R}}(N)$ .
3
Résultat : $P(N) = (0,6 \times 0,2) + (0,4 \times 0,5) = 0,12 + 0,20 = 0,32$ .

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Probabilité conditionnelle

La condition $A$ agit comme un 'filtre' : on réduit l'univers initial à la seule partie $A$ , puis on regarde ce que $B$ occupe dans cette nouvelle zone.

Formule des probabilités totales

C'est une 'moyenne pondérée' : on suit tous les chemins menant à $B$ dans l'arbre et on additionne leurs probabilités.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ .

La condition est le 'sachant que'. $P_A(B)$ signifie qu'on est déjà dans $A$ . $P_B(A)$ signifie qu'on est dans $B$ . Ce sont deux valeurs distinctes.

Oublier la condition $P(A) > 0$ pour définir $P_A(B)$ .

On ne peut pas diviser par une probabilité nulle, donc l'événement conditionnant doit être de probabilité non nulle.

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