Math1ère

Étude du signe d'un trinôme du second degré

Le signe d'un trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ dépend de son discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta < 0$ , le trinôme garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ . Si $\Delta = 0$ , il s'annule en $x = -b/2a$ et garde le signe de $a$ ailleurs. Si $\Delta > 0$ , il possède deux racines distinctes; il est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à l'intérieur. Cette étude est essentielle pour résoudre des inéquations du second degré.

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Maîtrise du calcul algébrique de base
Résolution d'équations du premier degré $ax + b = 0$
Notion de fonction et de courbe représentative (parabole)

Le plan

Structure du cours

1
Le discriminant
Définition du trinômeRôle du discriminant
- Forme canonique et étendue d'un trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$
- Calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$
2
Étude du signe
Cas $$\Delta < 0$$Cas $$\Delta = 0$$Cas $$\Delta > 0$$
- Le signe dépend du signe de $a$ et du nombre de racines
- Utilisation de la règle du signe du trinôme

À retenir

Notions clés

Discriminant

À mémoriser

Nombre réel noté $\Delta$ permettant de déterminer le nombre de racines d'un polynôme de second degré.

Exemple

Pour $f(x) = x^2 - 3x + 2$ , $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1$ .

Racines

À mémoriser

Valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$ .

Exemple

Si $\Delta > 0$ , les racines sont $x_1 = \frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Signe du trinôme

À mémoriser

Règle déterminant les intervalles où le trinôme est positif ou négatif.

Exemple

Si $\Delta > 0$ , le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines.

En pratique

Exemple résolu

Étudier le signe de $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$

1
Étape 1 : Identifier $a=-2$ , $b=8$ , $c=-6$ . Calculer $\Delta = 8^2 - 4(-2)(-6) = 64 - 48 = 16$ .
2
Étape 2 : Comme $\Delta > 0$ , calculer les deux racines : $x_1 = \frac{-8 - 4}{-4} = 3$ et $x_2 = \frac{-8 + 4}{-4} = 1$ .
3
Résultat : Le trinôme est du signe de $a=-2$ (donc négatif) en dehors de $[1 ; 3]$ et positif sur l'intervalle $[1 ; 3]$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Signe du trinôme

Pensez à un pont (la parabole) : si le sommet traverse l'axe, il y a deux passages (racines) ; le signe change quand on passe de l'autre côté.

Signe de $$a$$

Si $a > 0$ , la parabole est un sourire (joyeux), donc elle finit par être positive vers l'infini.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Croire que le trinôme est toujours du signe de $a$ .

C'est vrai uniquement si $\Delta < 0$ ou en dehors des racines quand $\Delta > 0$ . Entre les racines, c'est le signe opposé à $a$ .

Oublier le signe de $a$ dans la formule des racines.

Toujours vérifier le dénominateur $2a$ et non $2$ . L'erreur est fréquente chez les débutants.

Se tester

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