Étude du signe d'un trinôme du second degré

Le signe d'un trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ dépend de son discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta < 0$ , le trinôme garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ . Si $\Delta = 0$ , il s'annule en $x = -b/2a$ et garde le signe de $a$ ailleurs. Si $\Delta > 0$ , il possède deux racines distinctes; il est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à l'intérieur. Cette étude est essentielle pour résoudre des inéquations du second degré.

Maîtrise du calcul algébrique de base

Résolution d'équations du premier degré $ax + b = 0$

Notion de fonction et de courbe représentative (parabole)

Forme canonique et étendue d'un trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$

Calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$

Le signe dépend du signe de $a$ et du nombre de racines

Utilisation de la règle du signe du trinôme

Nombre réel noté $\Delta$ permettant de déterminer le nombre de racines d'un polynôme de second degré.

Pour $f(x) = x^2 - 3x + 2$ , $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1$ .

Valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$ .

Si $\Delta > 0$ , les racines sont $x_1 = \frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Règle déterminant les intervalles où le trinôme est positif ou négatif.

Si $\Delta > 0$ , le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines.

Étudier le signe de $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$

Étape 1 : Identifier $a=-2$ , $b=8$ , $c=-6$ . Calculer $\Delta = 8^2 - 4(-2)(-6) = 64 - 48 = 16$ .

Étape 2 : Comme $\Delta > 0$ , calculer les deux racines : $x_1 = \frac{-8 - 4}{-4} = 3$ et $x_2 = \frac{-8 + 4}{-4} = 1$ .

Résultat : Le trinôme est du signe de $a=-2$ (donc négatif) en dehors de $[1 ; 3]$ et positif sur l'intervalle $[1 ; 3]$ .

Pensez à un pont (la parabole) : si le sommet traverse l'axe, il y a deux passages (racines) ; le signe change quand on passe de l'autre côté.

Si $a > 0$ , la parabole est un sourire (joyeux), donc elle finit par être positive vers l'infini.

Croire que le trinôme est toujours du signe de $a$ .

C'est vrai uniquement si $\Delta < 0$ ou en dehors des racines quand $\Delta > 0$ . Entre les racines, c'est le signe opposé à $a$ .

Oublier le signe de $a$ dans la formule des racines.

Toujours vérifier le dénominateur $2a$ et non $2$ . L'erreur est fréquente chez les débutants.

Quelle est la formule du discriminant d'un trinôme $ax^2 + bx + c$ ?

Que signifie $\Delta < 0$ pour le signe du trinôme ?

Formule des racines si $\Delta > 0$ ?

Quel est le signe d'un trinôme entre ses deux racines (si $\Delta > 0$ ) ?

Que vaut le discriminant si la parabole est tangente à l'axe des abscisses ?

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Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

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Le discriminant

Étude du signe

Notions clés

Discriminant

Racines

Signe du trinôme

Exemple résolu

Astuces & analogies

Signe du trinôme

Signe de $$a$$

Erreurs fréquentes

Flashcards

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Vecteurs et géométrie plane : bases et colinéarité