Variables aléatoires : espérance, variance et écart-type
Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience. Sa loi de probabilité répertorie chaque valeur avec sa probabilité . L'espérance donne la moyenne théorique attendue. La variance mesure la dispersion des résultats autour de . Enfin, l'écart-type exprime cette dispersion dans la même unité que la variable. La condition fondamentale est que la somme des probabilités soit égale à .
Le résumé
Comprendre le cours
Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience. Sa loi de probabilité répertorie chaque valeur avec sa probabilité . L'espérance donne la moyenne théorique attendue. La variance mesure la dispersion des résultats autour de . Enfin, l'écart-type exprime cette dispersion dans la même unité que la variable. La condition fondamentale est que la somme des probabilités soit égale à .
Avant de commencer
Prérequis
Notion de probabilités de base
Calculs de sommes pondérées
Moyenne statistique
Le plan
Structure du cours
- 1
Définition et Loi de probabilité
Définition d'une variable aléatoireLoi de probabilitéUne variable aléatoire est une fonction qui associe un réel à chaque issue.
La loi de probabilité est définie par l'ensemble des couples .
- 2
Indicateurs statistiques
Espérance mathématiqueVariance et Écart-typeL'espérance représente la valeur moyenne à long terme.
La variance et l'écart-type mesurent la dispersion.
À retenir
Notions clés
Variable aléatoire
À mémoriserFonction définie sur l'univers d'une expérience aléatoire à valeurs dans .
Lancer d'un dé : est le chiffre obtenu.
Espérance
À mémoriserMoyenne pondérée des valeurs prises par : .
Gain moyen sur un jeu de casino.
Variance
À mémoriserMoyenne des carrés des écarts à l'espérance : .
Indicateur de risque d'un investissement.
En pratique
Exemple résolu
Un jeu consiste à tirer une carte dans un jeu de 32. Si c'est un As, on gagne 10€, sinon on perd 1€.
- 1
Étape 1 : Identifier les issues. . .
- 2
Étape 2 : Définir la variable . si As, si Non As.
- 3
Étape 3 : Calculer .
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Espérance
Pensez à une balance où chaque valeur est posée sur un plateau avec un poids correspondant à sa probabilité.
Variance
La variance est la moyenne de la 'distance' au carré entre ce qu'on attend () et ce qui arrive réellement.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Oublier que la somme des probabilités doit valoir .
Vérifiez systématiquement que . Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur dans le calcul ou la modélisation.
Confondre l'espérance avec une des valeurs possibles de la variable.
L'espérance n'est pas nécessairement une valeur que la variable peut prendre (ex: 0,375€ n'est pas une issue du jeu).
Se tester
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