Dérivées et variations : étude de fonctions

La dérivée $f'$ mesure la pente de la tangente à la courbe de $f$ . Pour un polynôme, on utilise la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$ . Le signe de $f'(x)$ détermine les variations : si $f'(x) > 0$ , $f$ est croissante ; si $f'(x) < 0$ , $f$ est décroissante. Une annulation de la dérivée correspond souvent à un extremum local. L'étude complète nécessite de calculer $f'(x)$ , résoudre $f'(x) = 0$ et construire un tableau de signes puis de variations. La dérivabilité est une condition nécessaire pour appliquer ces théorèmes.

Notion de limite intuitive

Maîtrise du calcul algébrique

Définition d'une tangente à une courbe

Limite du taux de variation

Nombre dérivé $f'(a)$

Dérivée d'une fonction sur un intervalle

Formules usuelles (polynômes)

Signe de $f'(x)$ et variations

Condition d'annulation en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$ . Le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ , est la limite du taux de variation $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsque $h$ tend vers $0$ .

Pour $f(x)=x^2$ , le taux de variation est $\frac{(a+h)^2-a^2}{h} = 2a+h$ . En faisant tendre $h$ vers $0$ , on obtient $f'(a)=2a$ .

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ , la fonction $f'$ qui à tout $x \in I$ associe $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ .

La dérivée de la fonction carrée $f(x)=x^2$ est la fonction $f'(x)=2x$ .

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ . Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$ , elle est strictement décroissante.

Si $f'(x) = 2x-4$ , alors $f'(x) > 0$ pour $x > 2$ : $f$ croît sur $[2; +\infty[$ .

Étudier les variations de la fonction $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2; 2]$ .

Étape 1 : Calculer la dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3$ .

Étape 2 : Étudier le signe de $3x^2 - 3$ . $3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ . Le trinôme est positif à l'extérieur des racines $-1$ et $1$ .

Étape 3 : Dresser le tableau de variations en indiquant les signes de $f'(x)$ et les variations de $f$ .

Résultat : $f$ est croissante sur $[-2; -1]$ , décroissante sur $[-1; 1]$ et croissante sur $[1; 2]$ .

Pensez au compteur de vitesse d'une voiture : si la vitesse ( $f'$ ) est positive, la distance parcourue ( $f$ ) augmente. Si la vitesse est négative, la voiture recule (la fonction diminue).

Pour $x^n$ , le $n$ descend devant et la puissance diminue de $1$ : $n$ devient $n-1$ . C'est la règle du 'déménageur' : l'exposant descend et aide à porter le carton.

Confondre le signe de la dérivée avec la valeur de la dérivée.

Ce n'est pas parce que $f'(x)$ est grand que la fonction est haute. C'est le signe (positif ou négatif) de $f'(x)$ qui indique si la courbe monte ou descend.

Oublier de préciser que la fonction doit être dérivable.

On ne peut pas appliquer ces règles sur des points où la fonction n'est pas dérivable (ex: point anguleux, fonction non continue).

Quelle est la dérivée de $x^n$ ?

Si $f'(x) = 0$ , que peut-on dire de la courbe en ce point ?

Quelle est la dérivée d'une constante $k$ ?

Si $f'(x) < 0$ sur $I$ , quel est le sens de variation de $f$ ?

Définition de $f'(a)$ avec un taux de variation ?

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Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

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Le nombre dérivé

La fonction dérivée

Lien entre dérivée et variations

Notions clés

Nombre dérivé

Fonction dérivée

Théorème de variation

Exemple résolu

Astuces & analogies

Signe de la dérivée et variations

Calcul de la dérivée

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