Dérivées et variations : étude de fonctions
La dérivée mesure la pente de la tangente à la courbe de . Pour un polynôme, on utilise la formule . Le signe de détermine les variations : si , est croissante ; si , est décroissante. Une annulation de la dérivée correspond souvent à un extremum local. L'étude complète nécessite de calculer , résoudre et construire un tableau de signes puis de variations. La dérivabilité est une condition nécessaire pour appliquer ces théorèmes.
Le résumé
Comprendre le cours
La dérivée mesure la pente de la tangente à la courbe de . Pour un polynôme, on utilise la formule . Le signe de détermine les variations : si , est croissante ; si , est décroissante. Une annulation de la dérivée correspond souvent à un extremum local. L'étude complète nécessite de calculer , résoudre et construire un tableau de signes puis de variations. La dérivabilité est une condition nécessaire pour appliquer ces théorèmes.
Avant de commencer
Prérequis
Notion de limite intuitive
Maîtrise du calcul algébrique
Définition d'une tangente à une courbe
Le plan
Structure du cours
- 1
Le nombre dérivé
Définition géométriqueDéfinition algébriqueTaux de variation
Limite du taux de variation
Nombre dérivé
- 2
La fonction dérivée
DéfinitionFormules de dérivationDérivée d'une fonction sur un intervalle
Formules usuelles (polynômes)
- 3
Lien entre dérivée et variations
Sens de variationExtremumsSigne de et variations
Condition d'annulation en un point
À retenir
Notions clés
Nombre dérivé
À mémoriserSoit une fonction définie sur un intervalle contenant . Le nombre dérivé de en , noté , est la limite du taux de variation lorsque tend vers .
Pour , le taux de variation est . En faisant tendre vers , on obtient .
Fonction dérivée
À mémoriserSi est dérivable sur un intervalle , la fonction qui à tout associe est appelée fonction dérivée de .
La dérivée de la fonction carrée est la fonction .
Théorème de variation
À mémoriserSoit une fonction dérivable sur . Si sur , alors est strictement croissante. Si , elle est strictement décroissante.
Si , alors pour : croît sur .
En pratique
Exemple résolu
Étudier les variations de la fonction sur .
- 1
Étape 1 : Calculer la dérivée .
- 2
Étape 2 : Étudier le signe de . . Le trinôme est positif à l'extérieur des racines et .
- 3
Étape 3 : Dresser le tableau de variations en indiquant les signes de et les variations de .
- 4
Résultat : est croissante sur , décroissante sur et croissante sur .
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Signe de la dérivée et variations
Pensez au compteur de vitesse d'une voiture : si la vitesse () est positive, la distance parcourue () augmente. Si la vitesse est négative, la voiture recule (la fonction diminue).
Calcul de la dérivée
Pour , le descend devant et la puissance diminue de : devient . C'est la règle du 'déménageur' : l'exposant descend et aide à porter le carton.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Confondre le signe de la dérivée avec la valeur de la dérivée.
Ce n'est pas parce que est grand que la fonction est haute. C'est le signe (positif ou négatif) de qui indique si la courbe monte ou descend.
Oublier de préciser que la fonction doit être dérivable.
On ne peut pas appliquer ces règles sur des points où la fonction n'est pas dérivable (ex: point anguleux, fonction non continue).
Se tester
Flashcards
Cliquez sur une carte pour révéler la réponse.
Continuer à réviser
Introduction à la dérivation : concepts et applications
La dérivation permet d'étudier la variation d'une fonction et de déterminer sa pente en chaque point. Le nombre dérivé correspond au coeffic...
Étude du signe d'un trinôme du second degré
Le signe d'un trinôme dépend du discriminant . Si , le trinôme possède deux racines et ...
Sommes de variables aléatoires : espérance et variance
La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : , peu i...