Vecteurs et géométrie plane : bases et colinéarité

Le chapitre porte sur les vecteurs, outils fondamentaux pour la géométrie du plan. Un vecteur $\vec{u}$ définit une translation (direction, sens, norme). On utilise la relation de Chasles ( $\\vec{AB} + \\vec{BC} = \\vec{AC}$ ) pour simplifier des sommes. Dans un repère, $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A; y_B-y_A)$ . Deux vecteurs sont colinéaires s'ils sont parallèles, ce qui se vérifie par un déterminant nul ( $xy' - x'y = 0$ ). Ces outils permettent de prouver que des droites sont parallèles ou que des points sont alignés.

Notion de coordonnées dans le plan muni d'un repère $(O; I, J)$

Calculs algébriques simples sur les fractions et nombres réels

Un vecteur $\vec{u}$ est défini par une direction, un sens et une norme.

La relation $\vec{AB} = \vec{CD}$ équivaut à dire que $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

La relation de Chasles s'écrit $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ .

La multiplication par un réel $k \cdot \vec{u}$ change la longueur et éventuellement le sens.

Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ , alors $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)$ .

Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ .

Objet mathématique représentant une translation, défini par une direction, un sens et une longueur.

La translation qui envoie $A$ sur $B$ est représentée par le vecteur $\vec{AB}$ .

Propriété fondamentale : pour tous points $A, B, C$ , $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ .

Pour aller de $A$ à $C$ , on passe par $B$ .

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'ils ont la même direction (ils sont parallèles).

Si $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ , ils sont colinéaires si $xy' - x'y = 0$ .

Prouver que deux droites sont parallèles.

Étape 1 : Calculer les coordonnées des vecteurs directeurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ à partir des coordonnées des points.

Étape 2 : Vérifier si le déterminant $x_1 y_2 - x_2 y_1$ est nul.

Résultat : Si le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires, donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Pensez au trajet : si vous allez de $A$ à $B$ , puis de $B$ à $C$ , vous êtes allé directement de $A$ à $C$ . Les lettres intérieures 's'annulent'.

Deux vecteurs sont colinéaires s'ils sont 'sur la même ligne' (direction commune). Pensez à deux trains sur des voies parallèles.

Confondre la norme d'un vecteur et ses coordonnées.

Les coordonnées sont des nombres algébriques (pouvant être négatifs), la norme est toujours positive : $||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ .

Croire que $\vec{AB} = \vec{CD}$ implique $A=C$ et $B=D$ .

Cela signifie seulement que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme. Les positions peuvent être différentes.

Comment calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ ?

Quelle est la condition de colinéarité de $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ ?

Que signifie $\vec{AB} = \vec{CD}$ ?

Quelle est la relation de Chasles ?

Quelles sont les trois caractéristiques d'un vecteur ?

Comprendre le cours

Continuer à réviser

Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

Structure du cours

Le vecteur : outil de translation

Calcul vectoriel

Vecteurs et repérage

Notions clés

Vecteur

Relation de Chasles

Colinéarité

Exemple résolu

Astuces & analogies

Relation de Chasles

Colinéarité

Erreurs fréquentes

Flashcards

Équations et inéquations : méthodes et tableaux de signes

Principes et opérations sur les fractions